قوانين الفرق بين مربعين

قوانين الفرق بين مربعين، يعتبر الفرق بين مربعين أحد قوانين الرياضيات، وهو صيغة مكونة من حدين مربعين، تفصل بينهما علاقة طرح كالتالي : (س2 – ص2) ، ويمكننا الاستفادة من هذه الصيغة عن طريق التحليل إلى العوامل ، أي أن (س2 – ص2)=(س – ص)(س + ص)، وهذا يعني أنه تحليل الفرق بين مربعين إلى جزأين هما ، الجذر التربيعي للحد الأول مطروحا منه الجذر التربيعي للحد الثاني، والآخر هو الجذر التربيعي للحد الأول مضافا إليه الجذر التربيعي للحد الثاني.

قوانين الفرق بين مربعين

كيفية تحليل الفرق بين مربعين

يمكنك اتباع عدة خطوات عند تحليل الفرق بين مربعين كالتالي

– الخطوة الأولى

يتم البحث عن وجود عامل مشترك بين جزأي الصيغة، والذي يطلق عليه “العامل المشترك الأكبر”، وعند وجود عامل مشترك يتم اخراجه من الصيغة المعطاة لدينا، لكن ينبغي أن ننتبه لضرورة ضمه للناتج النهائي.

الخطوة الثانية

جميع معادلات الفرق بين مربعين تكون على الصيغة التالية : س2 – ص2 = (س – ص) (س + ص)  ، لذلك ينبغي معرفة الجذر التربيعي لجزأي الصيغة حتى يمكن كتابتها بالصورة المطلوبة.

– الخطوة الثالثة

يتم تحديد ما إذا كانت العوامل المتبقية، تحتاج إلى المزيد من التحليل أم لا.

أمثلة على تحليل الفرق بين مربعين

توجد العديد من الأمثلة على كيفية تحليل الفَرق بين مربعين

مثال1 :حلل المِقدار التالي إلى عوامله الأوليّة 4ع²-9.

الحل :

نلاحظ في هذا المثال أن الحد الأول 4ع² عبارة عن مربع كامل =2ع×2ع، كما أن الحد الثاني 9عبارة عن مربع كامل=3×3، وبما أنَ الإشارة بين الحَدين هي إشارة طرح أو فرق، إذن هي على صورة فرق بين مربعين.

4ع²-9= (2ع)²-²3.

نحلل المِقدار (2ع)²-²3 كالآتي:

(2ع)²-²3= (2ع-3)(2ع+3).

مثال2 :حلل المقادير الجبرية الآتية إلى عواملها

س²-16

الحل :

نلاحظ أن الحد الأول س² هي عبارة عن مُربَّع كامل = س×س، كما أن الحد الثاني 16عبارة عن مربع كامل=4×4، وبما أن الإشارة بين الحدين هي إشارة طرح أو فرق، إذن هي على صورة فرق بين مربعين.

س²-16= س²-²4.

نحلل المقدار س²-²4 كالآتي :

س²-²4= (س-4)(س+4).

49م²-ك²

الحل:

يلاحَظ في هذا المِقدار أنَ الحد الأول 49م² هو عبارة عن مربع كامل=7م×7م، والحد الثاني ك² هو أيضاً عبارة عن مربع كامل= ك×ك، وبما أن العلاقة بين الحدين طرح، إذن هو على صورة فَرق بين مربعين.

49م²-ك²= (7م)²-ك².

نحلل المِقدار (7م)²-ك² كالآتي :

س²-²4= (7م-ك)(7م+ك).

(ص+1)² -1

يلاحَظ في هذا المِقدار (ص+1)² -1 أنه عبارة عن فرق بين مربعين، بحيث أن (ص+1)²هو الحد الأول، والعدد 1هو الحَد الثاني، وبما أن العدد 1 مربع كامل (²1=1)، فإن:

(ص+1)² -1= (ص+1)² -²1

نحلل المِقدار (ص+1)² -²1 كالآتي:

(ص+1)² -²1= ((ص+1) -1)((ص+1) +1).

مثال3 :بالاعتماد على تحليل الفَرق بين مُربَّعين، جد قيمة كلٍ من المقادير الآتية:

(8.5)²-(3.5)².

الحل:

يلاحظ أن هذا المقدار يمكن حلُه بأكثر من طريقة، وبما أنه طُلِب منا استخدام طريقة تحليل الفَرق بين مربعين، وجب اتباعها كالآتي:

(8.5)²-(3.5)²= (8.5 -3.5) (8.5 +3.5).

(8.5)²-(3.5)²=(5)(12).

إذن ناتج المقدار (8.5)²-(3.5)²يساوي 60.

(7)²-(1.25)²

الحل:

نستخدم طريقة تحليل الفَرق بين مربعين.

(7)²-(1.25)²= (7 -1.25) (1.25+7).

(7)²-(1.25)²=5.75×8.25

إذن ناتج المِقدار (7)²-(1.25)²=47.4375

مثال4: حلل المِقدار الجبري (6ب²-24ع²) إلى عوامله.

الحل:

نلاحظ أن الحد الأول 6ب² ليس مربعاً كاملاً، كما أنّ الحَدّ الثاني 24ع² ليس مربعاً كاملاً أيضاً، ولنجعل المقدار الجبري السابق فَرقاً بين مربعين، نُخرج العدد 6 كعامل مشترك بين الحدين؛ حيث إنه عند إخراج العدد 6 من الحدين، يصبح كلاهما مربعاً كاملاً.

6ب²-24ع²= 6(ب²-4ع²).

6ب²-24ع²= 6((ب²)-(2ع)²).

نحلل المقدار 6((ب²)-(2ع²)) كالتالي:

6ب²-24ع²=6((ب²)-(2ع²))= 6(ب-2ع)(ب+2ع).

مثال5:عبر عن المقدار الآتي(102×98) بصورة فرق بين مربعين، ومن ثم احسب قيمته العدديّة.

الحل:

نلاحظ أنّ (102×98) عبارة عن حاصل ضَرْب عددين، حيث يمثِّل العدد الأول 102=100+2، والعدد الثاني98=100-2.

(102×98)=(100 +2)(2-100)

(102×98)=(10000 -4).

إذن ناتج المقدار(102×98) يساوي9996.